FUNCIONES BOOLEANAS

Continuación

Completa Funcionalidad

Podemos expresar los tres operadores del algebra booleana en términos de otros dos

x + y = ¬(¬x • ¬y) = {•, ¬} operador Nand ½

xy = ¬(¬x + ¬y) = {•, ¬} operador Nor ¯

¬X = x½x

xy = (x ½x) ½(x ½y)

Compuestas Lógicas

El algebra booleana es usada para modelar circuitos elctrónicos. Cada entrada y salida son {0, 1}. Cada circuito pueden ser diseñado usando las reglas del algebra booleana.

Los elémentos básicos del circuito son llamados compuertas. Cada tipo de compuerta implementa una operación booleana.

Las compuertas básicas son :

Combinación de Compuertas

Los circuitos combinatorios pueden ser construidos usando compuertas básicas (and, or, not).

f(x,y,z) = ?

f(x,y,z) = ?

Diseño de Circuito

Diseñar un circuito con propiedades dadas es lo mismo que encontrar la proposición que tiene una tabla de verdad determinada. Para lograr lo anterior :

  • Construir la tabla que da el estado deseado del circuito.
  • Se forma la función booleana correspondiente a la tabla
  • Si es posible se simplifica
  • Finalmente se dibuja el circuito simplificado correspondiente.

Ejercicio :

1. Una lámpara está situada al final de una escalera y está controlada por un interruptor al final y otro al comienzo. Se requiere intercalar los dos interruptores en un circuito de tal forma, que al operar uno cualquiera de ellos cambie el estado de la lámpara.

Solución. La dificultad de este problema es encontrar un punto de partida. Llamemos x e y a los dos Interruptores que inicialmente supondremos que conducen, así como que la lámpara alumbra. La tabla de verdad y el correspondiente circuito de la lámpara de escalera es el siguiente:

¿Cuál es la tabla?

x
y
F(x, y)
1
1
?
1
0
?
0
1
?
0
0
?

¿Cuál es la función, la simplificación y el circuito ?.

2. Un juego muy simple es el siguiente. Juegan dos personas A, B, y cada una tiene una moneda de mil pesos. Lanzan al aire simultáneamente la moneda, si las dos monedas coinciden gana A, y si caen cara y sello gana B. Simular este juego mediante un circuito .

Solución. La moneda tiene dos estados, pues toma los valores cara y sello. Las dos monedas pueden representarse, entonces, mediante dos interruptores x e y, que conducen o no conducen.

3. Una máquina indicadora de mayoría de votos comprende tres interruptores x, y, z y una lámpara. La lámpara se enciende cuando se obtienen dos o más votos favorables. Dibuje el circuito de esta máquina.

4. Diseñar un circuito lógico de 3 entradas cuya salida es 1 si todos son 1 y además si una de las entradas exactamente es 1. En otro caso la salida es cero.

Sumadores

Una particularidad de toda computadora es que los números los suma en pares solamente. Si se requiere la suma de tres números, primero se suman dos y luego se agrega el tercero a la suma anterior. Por lo tanto sólo consideremos el problema de sumar dos números.

Al combinar dos dígitos en cualquier base, cuando la suma excede o iguala a la base, es necesario acarrear un dígito a la siguiente posición de la izquierda. O sea que, excepto para el dígito de la extrema derecha, consideraremos siempre un acarreo de un dígito que podrá ser 0 o 1 en el sistema binario. Debido a este acarreo será conveniente efectuar la adición en dos pasos:

  • Construir un circuito lógico llamado semi-sumador(HA, de Half adder). Este circuito lógico será un dispositivo capaz de efectuar la adición entre dos dígitos binarios. Así el semi-sumador tendrá dos entradas correspondientes a los dos sumandos, y dos salidas, una dando el dígito de la suma y la otra el dígito por acarrear. La tabla correspondiente es la siguiente:
x
y
s
c
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0

 

La función s es: s = x’ y + x y’ si se expresa en F.N.D.

El acarreo c está dado por: a = x y. El siguiente es entonces el circuito lógico del semi-sumador.

Con el semi-sumador como componente, construir un circuito para la suma paralela de dos números binarios. La adición de dos números binarios de varios dígitos es equiparable a la adición por posiciones considerando el acarreo de suma eventualmente derivado de la cifra anterior. El diagrama siguiente muestra como pueden sumarse dos números binarios de tres dígitos, por posiciones, mediante combinación de semi-sumadores (HA), y compuertas OR. El número binario puede ser de cuatro cifras en su resultado.

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