FUNCIONES

INTRODUCCIÓN

Definición : Dados dos conjuntos no vacios A, B una función f , de A a B, definida por f : A ® B es una asignación de un único elemento de B para cada elemento de A.

Suele escribirse f (a) = b, donde b es el único elemento del conjunto B asignado a la función f  evaluada en el elemento a.

 

Definición : Si f  es una función de A a B, A es el dominio en f   y B es el codiminio en f . Para cada pareja ordenada (a, b) Î f , b es la imagen de a en f , mientras que a es la preimagen de b. El rango de f es el conjunto de todas las imagenes de elementos de A.

f = {(a, f (a))½a Î Dom ( f  ) }

Ejemplo :

  • A={1, 2, 3, 4, 5} , P={a, b, c, d, e}, Dom = (1, 2, 3, 4, 5), Rango o Codominio =(a, b, c, d, e).
  • f = {(1, a), (2, a), (3, d), (4, c), (5, b ) } es función ?

  • A ={1, 2, 3} B = {x, y, z}

    f = {(1, x), (1, y), (2, z), (3, y)} es función ?

  • Sea f   : Z ® Z, entonces f (x) = x^2, cuál es el Dom, Codom, Rango de f   ?..
  • En los Lengauajes de Programación como C o Pascal que tipo de función se pueden utilizar (Floor, Ceil, Sqrt, ...). ¿Dominio, Codominio?.

Definición : Sea f 1 y f 2 funciones de A a R. Entonces f 1 + f 2 y f 1f 2 son funciones de A a R definido por (las funciones deben tener el mismo dominio).

(f 1 + f 2)(x) = f 1(x) + f 2(x)

(f 1f 2)(x) = f 1(x)f 2(x)

Ejemplo :

  • Sea f 1 y f 2 funciones de R a R tal que f 1(x) = x + 3 y f 2(x) = 4x - 2. ¿Cuál es la función f 1 + f 2 y f 1f 2 ?.

    (f 1 + f 2)(x) = f 1(x) + f 2(x) = ?

    (f 1f 2)(x) = f 1(x)f 2(x) = ?

Definición: Sea f  una función del conjunto A al conjunto B y sea S un subconjunto en A. La imagen de S es un subconjunto en B y se representa por f (s).

f (s) = {f (s)½s Î S}

Ejemplo :

  • A ={1, 3, 5, 7, 9}, B={a, b, c, d}, subconjunto S={b, c, d}, f = {(1, a), (3, c), (5, a), (7, b), (9, c)}, S = {1, 5, 7}, f (s)= {a, b}.

Funciones Especiales

Definición : Una función f : A ® B, es llama uno a uno o inyectiva, si y solo si f (x) = f (y) implica que x = y para todo x y y en el dominio de f .

Si f : A ® B es uno a uno, con A, B finitos, se debe tener ½A½£½B½. Un función uno a uno puede ser caracterizada como aquella donde cada elemento de la imagen es imagen de un elemento del dominio.

Ejemplo :

  • A={1, 2, 3} , P={a, b, c, d, e}.
  • f = {(1, a), (2, c), (3, d) } es función uno a uno?

    g = {(1, a), (2, c), (3, c)} es función uno a uno?

  • Sea f   : Z ® Z, entonces f (x) = x^2, es una función uno a uno?.
  • Sea f   : Z ® Z, si f (x) = x + 1, es una función uno a uno?.

Definición : Una función f : A ® B, es llama sobreyectiva, si y solo si para cada elemento b Î B existe un elemento a Î A, con f  (a) = b.

Si f : A ® B es sobreyectiva, con A, B finitos, se debe tener ½A½³½B½. Un función sobreyectiva puede ser caracterizada como aquella donde todo elemento de la imagen es imagen un elemento del dominio.

Ejemplo :

  • A={1, 2, 3, 4, 5} , P={a, b, c, d}.
  • f = {(1, a), (2, c), (3, d), (4, b) (5, c) } es función sobreyectiva?

    g = {(1, a), (2, c), (3, c), (4, b), (5,a)} es función sobreyectiva?

  • Sea f   : Z ® Z, entonces f (x) = x^2, es una función sobreyectiva?.
  • Sea f   : Z ® Z, si f (x) = x + 1, es una función sobreyectiva?.

Definición : Una función f : A ® B, es llama biyectiva, si es inyectiva y sobreyectiva.

Ejemplo :

  • A={1, 2, 3, 4, 5} , P={a, b, c, d, e}.
  • f = {(1, a), (2, c), (3, d), (4, b) (5, e) } es función biyectiva?

    g = {(1, a), (2, c), (3, c), (4, b), (5,e)} es función biyectiva?

  • Sea f   : Z ® Z, entonces f (x) = x^2, es una función biyectiva?.
  • Sea f   : Z ® Z, si f (x) = x + 1, es una función biyectiva?.

Supongamos f   es una función del conjunto A al conjunto A, si A es finito, entonces f   es uno a uno si y solo si es sobreyectiva. A este tipo de función se conoce como función identidad iA  : A ® A, donde iA(x) : x.

La función identidad es biyectiva.

Ejercicios :

  • Dado el diagrama sagital, cuáles cumple con se función, inyectiva, sobreyectiva, biyectiva.
  • a)b) c)

    d) e) f)

  • Para las siguientes funciones determinar en que casó la función es uno a uno, y su imagen.
    • f   : Z ® Z, f (x) = 2x + 1
    • f   : Q® Q, f (x) = 2x + 1
    • f   : Z ® Z, f (x) = x^ 3 - x
    • f   : R® R, f (x) = e^x
    • g   : R® R, g(x) = x^3
    • f   : N® N, f (x) = x^2
  • Para las siguientes funciones determinar en que casó la función es sobreyectiva, y su imagen.
    • f   : Z ® Z, f (x) = x + 7
    • f   : R® R, f (x) = 2x - 3
    • f   : Z ® Z, f (x) = x^ 2+ x
    • f   : R® R, f (x) = -x + 5
    • g   : R® R, g(x) = x^3
    • f   : N® N, f (x) = x^2
  • Para las siguientes funciones determinar :
    • f1   : R® R, f1 (x) = 2x - 3
    • f2   : Z ® R, f2 (x) = x^ 2+ x
    • f4   : R® R, f4 (x) = -x + 5
    • g5   : R® R, g5(x) = x^3

    Determinar f 1 + f 4, f 1 f 4, g5 + f4, f 2 + f 2.

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